Teoreme Geometrie In Spatiu

1) Teoreme ºi propoziþii de paralelism:

Teorema1: o dreapta neconþinuta intr-un plan este paralela cu planul daca ºi numai daca ea este paralela cu o dreapta conþinuta in plan.

a Ë a

a b

b Ì a

Þ a a

Teorema2: doua plane sunt paralele daca unul dintre ele conþine 2 drepte concurente, amandoua paralele cu al doilea plan.

a ¹ b

a Ì a

b Ì a

a Ç b = {A}

Þ a b

Teorema3: daca 2 plane sunt paralele, oricare dreapta conþinuta intr-unul din plane este paralela cu celalalt plan.

a b

" d Ì b

Þ d a

Teorema4 (umbrei): daca a este o dreapta paralela cu planul a, iar b este un plan care conþine dreapta a, atunci b a, sau b se intersecteaza cu a dupa o dreapta paralela cu dreapta a.

a a

a Ì b

b Ç a = d

d

a

d

P

b

Þ d a

Teorema5: fie a o dreapta inclusa sau paralela cu planul a ºi fie o dreapta b paralela cu a, dusa printr-un punct A al planului a, atunci dreapra b e inclusa in a.

a a

sau ºi A I a

a Ì a b a

A I b

Þ b Ì a

Teorema6: daca a, b, c sunt trei drepte astfel incat a b ºi b c, atunci a c.

Teorema7:daca un plan intersecteaza 2plane paralele,atunci intersecþiile sunt drepte paralele.

a b Þ a b

g Ç a = a; g Ç b = b

Teorema8: doua plane distincte, fiecare paralele cu un al treilea plan sunt paralele intre ele.

a;b

Þ a b

a g

b g

P1:

fie a ºi b 2 drepte paralele ºi planele a ºi b, astfel incat a Ì a ºi b Ì b. Daca planele a ºi b se intersecteaza dupa o dreapta c, atunci c este paralela cu dreptele a ºi b.

P2:

daca 2 drepte sunt necoplanare, atunci exista (ºi e unic) un plan care conþine una din cele 2 drepte ºi e paralel cu cea de-a doua dreapta.

P3:

daca 2 drepte sunt paralele, iar una dintre ele e paralela cu un plan, atunci ºi cealalta e paralela cu planul.

2) Teoreme ºi propoziþii de perpendicularitate:

Definiþie: o dreapta este perpendiculara pe un plan daca este perpendiculara pe orice dreapta a planului.

Teorema1: daca o dreapta este perpendiculara pe 2 drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculara pe plan.

Teorema2: dintr-un punct M, conþinut intr-un plan a, se poate duce o singura dreapta perpendiculara pe a.

Teorema3: doua plane perpendiculare pe aceeaºi dreapta sunt paralele.

Teorema4: exista un unic plan perpendicular intr-un punct dat, pe o dreapta data.

P5:

orice plan care conþine mijlocul unui segment este automat egal departat de capetele segmentului.

P4:

fie DABC ºi M un punct nesituat in planul (ABC). Atunci:

MA = MB = MC Û OM ^ (ABC) *

P3:

a ^ a

b a

P2:

doua drepte paralele cu doua drepte perpendiculare sunt automat perpendiculare.

P1:

daca 2 drepte din spaþiu sunt perpendiculare, atunci una dintre ele e perpendiculara pe orice paralela la cealalta.

Teorema5: doua drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele.

Þ b ^ a

* O este centrul cercului circumscris triunghiului DABC

3) Teorema celor trei perpendiculare:

Fie a un plan, A un punct,A Ï a ºi a o dreapta, a Ì a.Daca AA’ ^ a,A’ I a ºi A’B ^a,B I a, atunci AB ^ a.

a

B

A

A’

a

AA’ ^ a

a Ì a

A’B ^ a

T1

Þ AB ^ a

4) Teorema lui THALES in spaþiu:

Trei sau mai multe plane paralele determina pe 2 drepte oarecare segmente respectiv proporþionale.

5) Teorema lui MENELAOS in spaþiu:

Un plan intersecteaza muchiile [AB], [BC], [CD], respectiv [AD] ale tetraedrului ABCD in punctele M, N, P, Q. Demonstraþi ca:

A

6) Teorema bisectoarei:

Intr-un triunghi, o bisectoare determina pe latura opusa segmente proporþionale cu laturile unghiului.

7) Teorema inalþimii:

Intr-un triunghi dreptunghic, inalþimea este media geometrica a proiecþiilor catetelor pe ipotenuza.

AD =

AD2 = BD × CD

8) Teorema catetei:

Intr-un triunghi dreptunghic, o cateta este media geometrica intre ipotenuza ºi proiecþia acestei catete pe ipotenuza.

AB2 = BD × BC

AC2 = CD × BC

9) Teorema cosinusului:

In triunghiul ABC, cosinusul unghiului a este egal cu raportul dintre diferenþa sumei patratelor laturilor unghiului cu patratul laturii opuse unghiului ºi dublul produsului laturilor unghiului.

10) Teorema proiecþiei:

Lungimea proiecþiei unui segment pe un plan este egala cu produsul dintre lungimea segmentului ºi cosinusul unghiului dintre dreapta suport ºi planul respectiv.

j=m(AB ; a)

cos j =

AD = AB × cos j

Daca j = 00 Þ cos 00 = 1 Þ AD=AB

j = 900 Þ cos 900 = 0 Þ AD=0

Aceasta teorema se poate extinde ºi la alte figuri geometrice:

download