Probleme In Rezolvarea Carora Se Folosesc Formulele De Calcul A Ariei Unor Suprafete Plane

Cap. 1 Introducere

 

Printre cele mai vechi stiinte se numara desigur geometria. Dar ce probleme au fost puse atunci in indepartata antichitate, pe care sa cladit treptat aceasta stiinta? Pentru raspuns sa parcurgem randurile scrise de parintele istoriei – cum l-a numit Marcus Tullio Cicero(sec I i.Hr) –Herodot(sec 5 i.Hr).

      “Preotii povesteau ca (prin sec al XIII-lea i.Hr) unul dintre regii vechiului egipt a impartit tara intre toti egiptenii capatand fiecare o portiune dreptunghiulara, egala, de pamant, prin aceasta el a creat pentru sine venituri cerand sa fie platit anual ,un anumit impozit. Daca raul Nil rupea o parte a unei parcele oarecare, proprietarul ei se prezenta la rege si anunta cele intamplate. Regele trimitea cativa oameni pentru a controla si masura cu cat s-a micsorat parcela respectiva (dar si pentru a reconstitui hotarele acoperite de malul revarsarilor-cum a mentionat Proclos (sec 5)), pentru ca in viitor prprietarul ei sa plateasca totusi corespunzator impozitul cuvenit. Mi se pare ca aceasta a fost originea geometriei…”

      Este evident ca aceasta relatare atesta caracterul-de preferinta practic-al primelor cunostinte geometrice si da o explicatie a denumirii acestei discipline “masuratoare a pamantului”, terminologie propusa de Arhytas si Platon (sec 4 i.Hr). 
 

Cap. 2 Formule pentru calculul ariilor

          Aria triunghiului 

    Notatii: a,b,c-lungimile laturilor; p-semiperimetrul; ha ,hb ,hc-lungimea inaltimilor din A,B,C; r-raza cercului inscris; R-raza cercului circumscris; ra ,rb ,rc-razele cercurilor exinscrise; S-aria. 

    1. S=a∙ha/2  (definitie)              
    2. S=a∙b∙sinC
    3. S=a2∙sinB∙sinC/2∙a∙sinA (si analoagele)
    4. S(Heron)
    5. S=p∙r
    6. S=
    7. S=(p-a)∙ra  (si analoagele) 
    8. S=rarbrc
    9. S=p1∙R (p1-este semiperimetrul triunghiului artic)

Proprietatea de aditivitate: In ΔABC daca m(AB) si K atunci K

ARIA PATRULATERULUI CONVEX

      Notatii generale: a,b,c,d-lungimile laturilor; d1,d2-lungimile diagonalelor; -masura unghiului format de diagonale; h-lungimea inaltimii(unde este cazul); S-aria

      Definitie SABCD=SABC+SADC=SABD=SBCD

Din definitie alicand teorema de aditivitate a ariilor shi formula 2 pentru aria triunghiului se obtine formula generala: S=d1∙d2∙sin/2, de unde se obtine pentru patrulaterul ortodiagonal S=d1∙d2/2

ARIA PARALELOGRAMULUI

      S=a∙ha=b∙hb ; S=a∙b∙sinB

ARIA DREPTUNGHIULUI

      S=a∙b      S=d2∙sin/2

ARIA ROMBULUI

      S=a∙h   S=a2∙sin u   unde u={m(), m()}   S=d1∙d2/2

ARIA TRAPEZULUI

      S=(B+b)∙h/2 unde B,b sunt lungimile bazelor trapezului

ARIA UNUI PATRULATER INSCRIPTIBIL

      S=   unde p este semiperimetrul patrulaterului

download