Probleme De Olimpiada Matematica Rezolvate

O1. Sa se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Conditii de existenta: x,yR*+

Ecuatia atasata:

1 - - - - - - - - 0 - - - - - -

Deci

O2 Sa se gaseasca valorile lui x astfel incat:

Raspuns:

Se observa ca x=0 este solutie

=

Se considera si

x=0 este solutie unica a ecuatiei

f(x) este strict crescatoare pe R

g(x) este strict descrescatoare pe R

O3 Fie aR. Sa se rezolve in R ecuatia:

Rezolvare:

O4 Sa se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Conditii de existenta: x,yR*+

Observam ca este solutie a sistemului

Verificare:

33-22=27-4=23

Cazul 1 x(0;3)

Din relatiile (1) si (2)?contradictie?nu exista solutii pentru x(0;3) (3)

Cazul 2 x(3;+8)

Din relatiile (1) si (2)?contradictie?nu exista solutii pentru x(3;+8) (4)

Din relatiile (3) si (4)?ecuatia are solutie unica

O5 Sa se rezolve ecuatia:

4x+9x+25x=6x+10x+15x

Raspuns:

Observam ca x=0 verifica ecuatia.

Verificare: 1+1+1=1+1+1?3=3 (A)

Solutia 1:

Notam 2x=a

3x=b

5x=c

ecuatia 4x+9x+25x=6x+10x+15x se poate scrie a2+b2+c2=ab+ac+bc

a2+b2=2ab

a2+c2=2bc

b2+c2=2ac +

2(a2+b2+c2) =2(ab+bc+ac)? a2+b2+c2 =ab+bc+ac

Egalitatea are loc daca a=b=c ? 3x=2x=5x?x=0

Solutia 2

4x+9x-6x =+10x+15x-25x / :10x

Definim urmatoarele functii:

Solutia unica este x=0

f(x)= este strict descrescatoare pe R

g(x)= este strict crescatoare pe R

O6 Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare:

Observam ca x=2 este solutie a ecuatiei.

Verificare:

Definim urmatoarele functii:

f(x)=, ?f(x) este strict descrescatoare pe R

g(x)=(sin )x, ?g(x) este strict crescatoare pe R

f(x)+g(x)= este strict descrescatoare pe R

Deci x=2 este solutie unica.

O7 Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare:

Observam ca x=5 este solutie a ecuatiei.

Verificare: 30=1?1=1 (A)

Definim functiile:

f:R?R, f(x)= este strict crescatoare pe R

g:R?R, g(x)= este strict descrescatoare pe R

f(x)=

x1

g(x)=

x1g(x2)?functia este strict descrescatoare

Deci x=5 este solutie unica.

N1 Sa se rezolve inecuatiile:

-

Rezolvare:

Conditii de existenta: x2+2x>0?x(x +2)=0

x -2 0 x(x-2) + + +0- - - - - - 0+ + + +

Ecuatia atasata: x(x+2)=0?

Deci x(-8;-2)(0;+ 8).

Ecuatia atasata: x2+2x-1=0?=4+4=8.

x -1- -1+ x2+2x-1 + 0 - - - - - - - 0 + + +

Deci x(-1-;-1+)

-1-

-2

-1+

0

Deci x(-1-;-2).

c)

Rezolvare:

Conditii de existenta:

caz 1 x>1?

Ecuatia atasata:

=4-4·4·5<0?inecuatia nu are solutii

caz 2 x(0;1)?

Deci inecuatia nu are solutii.

A1 Sa se arate ca expresia este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,y,z.

Rezolvare:

? ?

Notam

? E este independenta de valorile x,y,z>1.

download