Operatii Cu Radical, Rationalizarea Numerelor, Ecuatii Irationale

5. PUTERI SI RADICALI

Puteri cu exponent natural:

-

an unde aI|R, nI|N; 33993jfe72qfc5n

-

a0=1;

-

a1=a;

-

an = ;

-

a – baza puterii; ff993j3372qffc

-

n – exponentul puterii;

-

(ab)n=anbn, "a,bI|R, nI|N*;

-

(am)n=amn, "aI|R, m,nI|N*;

-

am×an=am+n, "aI|R, m,nI|N*;

-

, b¹0, "a,bI|R, nI|N*;

-

, "aI|R*, m,nI|N*, m>n.

Puteri cu exponent intreg negativ:

-

a-n= unde aI|R*, nI|N;

-

restul proprietatilor se pastreaza.

Puteri cu exponent rational pozitiv:

-

, a=0, IQ+;

-

, a=0, ,IQ+;

-

, a,b=0, IQ+;

-

, a=0, b>0, IQ+;

-

, a=0, , IQ+;

-

, a>0, ,IQ+, >.

Puteri cu exponent rational negativ:

-

, a>0, IQ+;

-

restul proprietatilor se pastreaza.

Functia putere cu exponent natural nenul:

-

f(x)=xn, f:|R®|R, nI|N*;

-

monotonia: ;

-

paritate: ;

-

semn: .

Functia putere cu exponent intreg negativ:

-

f(x)=x-n, f:|R-{0}®|R, nI|N*;

-

monotonia: ;

-

paritate: ;

-

semn: .

Functia putere cu exponent rational:

-

f(x)==, f:(0, ¥) ?(0, ¥), IQ*;

-

daca >0 ? f strict crescatoare;

-

daca <0 ? f strict descrescatoare.

Radicalul unui numar pozitiv:

-

ecuatia xn-a=0 (nI|N, n³2, aI|R, a>0) are o singura radacina reala pozitiva;

-

daca a>0, nI|N, n³2 se numeste radical de ordin n din a, numarul pozitiv a carui putere a n-a este a;

-

notatie x=;

-

notatie =;

-

=0;

-

;

Radicalul de ordin impar al unui numar negativ:

-

ecuatia xn-a=0 (nI|N, n³2, n impar, aI|R, a<0) are o singura radacina reala negativa;

-

daca a<0, nI|N, n³2, n impar, se numeste radical de ordin n din a, numarul negativ a carui putere a n-a este a;

-

notatie x==;

Proprietatile radicalilor: " m, n, kIN*, m, n, k=2

-

P1) , "a,b=0;

-

P2) , " a=0, b>0;

-

P3) , " a=0;

-

P4) ()m =," a=0;

-

P5) =," a=0;

-

P6) ," a=0.

Operatii cu radicali:

-

scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numarul de sub radical in factori, se aplica proprietatile 1, 3 si 5;

-

introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizeaza proprietatile 1, 3 si 5;

-

inmultirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatea 1 si 5;

-

, a1, a2, , ak=0;

-

, a, b=0;

-

impartirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatile 2 si 5;

-

, " a=0, b>0;

-

, " a=0, b>0;

-

rationalizarea numitorilor:

-

operatia de eliminare a radicalilor de la numitorul fractiilor;

-

expresii conjugate: - expresii cu radicali care prin inmultire dau o expresie fara radicali;

-

, a, b=0;

-

, a, b=0;

-

, a, b=0;

-

, a, b=0, n impar;

Functia radical:

-

f(x)= , f:[0, ¥)®[0, ¥), nI|N, n³2;

-

monotonia: f strict crescatoare pe [0, ¥);

-

f(x)³0 "xI[0, ¥);

-

functia este bijectiva;

-

inversa ei este functia putere.

-

f(x)= , f:|R®|R, nI|N, n³2, n impar;

Ecuatii irationale:

-

ecuatii care contin necunoscuta sub semnul radical;

-

rezolvarea consta in eliminarea radicalilor prin diferite transformari (ridicari la putere = cu ordinul radicalului, inmultire cu expresia conjugata), reducandu-le la ecuatii studiate;

-

conditii de existenta numai pentru radicali de ordin par : f(x)=0 unde f(x) este o expresie in functie de x;

download