Integralele Definite - Sume Riemann

INTEGRALE DEFINITE

SUME RIEMANN

Definitie: Se da colectia de obiecte:

-

[a,b] – interval inchis 36151xsl18flr2g

-

D– diviziune a intervalului [a,b]

D = (a=x0 -

f:[a,b]®R

-

xI – un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a,b] sl151x6318fllr

xI I [xi-1,xi]

Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii D si sistemului de puncte intermedi-are xI numarul notat:

n

sD(f,xi) = S f(xi)*(xi-xi-1)

i=1

INTEGRALE IN SENS RIEMANN

Definitie: Se da f:[a,b]®R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca $ if I R a.i. " e>0,$ he>0 cu proprietatea ca " D o diviziune a intervalului [a,b] si (xi) un sistem de puncte intermediare, xi I [xi-1,xi] cu ||D||

if – se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a,b]

b

notez: if = ò f(x)*dx.

a

b

Obs:

1) Numarul real if este unic; ò f(x)*dx este unica.

a

Demonstratie:

P.p.a. ca $ i1¹i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru " e>0 $ hk,e>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:

D=(x0,x1,,xn) a lui [a,b] cu ||D|| < he si orice puncte intermediare xi-1 £ xi £ xi (1 £ i £ n) sa avem:

|sD(f,x)-ik|

Luand he = min(h1,e , h2,e) rezulta ca pentru orice diviziune D a lui [a,b] cu ||D||

|sD(f,x)-i1| < e/2 si |sD(f,x)-i2| < e/2,

deci: |i1– i2| < |i1– sD(f,x)| + |sD(f,x)-i2| < e/2+e/2 = e.

Cum e > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1¹i2 Þ contradictie.

Deci if este unic.

2) f:[a,b]®R

f – integrabila in sens Riemann pe [a,b] Þ f marginita pe [a,b]

Demonstratie:

f – integrabila pe [a,b] Þ $ if I R a.i. " D o diviziune a lui [a,b] si " e>0, $ he>0 pentru care ||D||

Arat ca f este marginita pe [xk-1,xk]

ì x, i¹k

Fie xi=í

ixi, i=k

n n

sD(f,xi) = S f(xi)*(xi-xi-1) = S f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1)

i=1 i=1

i¹k

|sD(f,xi) – if | < e

–e < sD(f,xi) – if < e /+ if

–e + if < sD(f,xi) < e + if

n

–e + if

i=1

i¹k

1/(xk-xk-1)*[ – e + if – S f(xi)*(xi-xi-1)] < f(x) < 1/(xk-xk-1)*[ – e + if – S f(xi)*(xi-xi-1)]

[_____________________________] [_____________________________]

M1 M2

M1< f(x) < M2

Þ f – marginita pe [xk-1,xk] " k I {1,2,,n} Þ f – marginita pe [a,b]

3) f,g:[a,b]® R

AÌ[a,b]

A finita, cu proprietea:

-

g integrabila pe [a,b]

-

f(x)=g(x) "xI[a,b]A

atunci: a) f – integrabila pe [a,b]

b b

b) ò g(x)*dx = ò f(x)*dx

a a

Demonstratie:

Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A={c}.

Functia g fiind integrabila, este marginita, deci $ M1 ³ 0 astfel incat:

|g(x)| £ M1 " xI[a,b]

Luand M = max( M1, |f(c)| ) Þ f(x) £ M si g(x) £ M " xI[a,b].

g – integrabila Û " e > 0, $ h’e > 0 a.i.:

b

-

| sD(g,xi) – ò g(x)*dx | < e/2

a

" D = (x0, x1,,xn), cu ||D|| < h’e si " sistemul de puncte intermediare xi.

Luand he = min (h’e, e/(8*M) ), avem he £ he si 4*M*he £ e/2.

Daca c este un punct al diviziunii D, atunci $ 0 £ i £ n astfel incat c = xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele xj sau xj+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) " x ¹ c, obtinem:

| sD(g,xi) – sD(f,xi) | = | S ( g(xi) – f(xi) )*( xi – xi-1 )| £ | g(xj) – f(xj)|*(xj – xj-1) + | g(xj+1) – – f(xj+1)|*(xj+1 – xj) £ 4*M*||D|| < 4*M*he < e/2

Daca c nu este punct al diviziunii D, atunci c este continut intr-un interval deschis

(xk-1,xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul xk, prin urmare:

| sD(g,xi) – sD(f,xi) | = | S ( g(xi) – f(xi) )*( xi – xi-1 )| £ | g(xk) – f(xk)|*(xk – xk-1) £ 2*M*||D|| £ £ 2*M*he < e/2

Din analiza facuta pana acum rezulta ca:

-

| sD(g,xi) – sD(f,xi) | < e/2

Din 1) si 2) obtinem:

b

| sD(f,xi) – ò g(x)*dx | < e

a

b b

adica f este integrabila si: ò f(x)*dx = ò g(x)*dx.

a a

EXEMPLE:

-

f:[a,b]® R

f(x) = k

a

Þ f – integrabila si ò k*dx = k*(b-a)

b

$ if = k*(b-a) a.i. " e > 0 $ he > 0 cu proprietatea ca " D= (x0=a

" xi I[xi-1,xi], ||D||

sD(f,xi) = S f(xi)*(xi–xi-1) = S k(xi–xi-1) = k*S (xi–xi-1) = k(x1–x0+x2–x1++xn–xn-1) =

= k*(xn – x0) = k*(b-a)

|sD(f,xi) – if | = |k*(b-a) – k*(b-a)| = 0 < e " e>0.

-

f,g:[a,b]® R

ì 1, pentru xIQ ì-1, pentru xIQ

f(x) = í g(x) = í

i-1, pentru xIRQ i 1, pentru xIRQ

f,g – nu sunt integrabile

Demonstratie pentru f(x) :

Fie D= (a=x0

ìS 1*(xi – xi-1) = b-a, pentru xi I Q

sD(f,x) = í

iS (-1)*(xi – xi-1) = a-b, pentru xi I RQ

Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor xi, functia nu este integrabila.

Demonstratia se face analog pentru g(x).

Desi f,g nu sunt integrabile functiile:

(f+g)(x) = 0 "xI[a,b]

(f*g)(x) = -1 "xI[a,b]

(fog)(x) = 1 "xI[a,b]

sunt integrabile ca fiind functii constante.

-

Sa se cerceteze integrabilitatea functiei:

ì 0, daca x este irational sau x = 0

G(x) = í

i 1/q, daca x = p/q, p/q fractie ireductibila

Rezolvare: Functia este integrabila pe segmentul [0,1]. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul [0,1] avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie D o diviziune arbi-trara a segmentului [0,1]. Exista cel mult 2k intervale partiale (pe care le notam d1’,d2’,,d2k’) care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat e>0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului e/2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d1", d2", d2m" celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele di" (i = 1, 2, , m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci :

2k m

Sd(G) – sd(G) = S (Mi’ – mi’)si’ + S (Mi" – mi")si"

i=1 i=1

Am notat cu Mi’, respectiv mi’ marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di’ si cu Mi", respectiv mi" marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di", si’ este lungimea lui di’, iar si" este lungimea lui di".

Deoarece Mi’ – mi’<1, mi" = 0, Mi"<1/N, " i, avem

2k m

Sd(G) – sd(G)

i=1 i=1

Daca N > 2/e, atunci 1/N < e/2 si Sd(G) – sd(G) < e.

Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a

1

functiei este 0, avem sd(G) = 0, " D; rezulta I = ò G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei

0

G, avem :

1

òG(x)dx = 0.

0

Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.

download