Grafice De Functii Rationale

Trasarea graficului unei functii

In studiul variatiei unei functii si trasarea graficului se parcurg urmatoarele etape de determinare succesiva a unor elemente caracteristice ale functiei:

-

Domeniul de definitie:

-

Determinarea domeniului de definitie (in cazul expresiilor rationale numitorul trebuie sa fie diferit de zero; in cazul celor irationale cantitatea de sub radical trebuie sa fie cel putin zero)

-

Intersectia graficului cu axa Ox: f(x)=0

-

Intersectia graficului cu axa Oy:f(0)=

-

Calculul limitelor:

-

Semnul functiei:

-

Determinarea paritatii sau imparitatii functiei(daca functia este para,f(x)=f(-x),atunci graficul este simetric fata de axa ordonatelor; daca functia este impara,-f(x)=f(-x), atunci graficul este simetric fata de originea axelor).

-

Determinarea periodicitatii functiei si, in cazul functiilor periodice, a perioadei T.

-

Continuitatea functiei.

-

Asimptote:

-

orizontale;

-

oblice;

-

verticale.

-

Studiul primei derivate:

-

Se determina multimea E` inclusa in domeniul de definitie, pe care functia f este derivabila si apoi se calculeaza f `(x).

-

Se rezolva ecuatia f `(x)=0, ale carei radacini sunt, eventual, puncte critice ale functiei.

-

Se calculeaza valoarile functiei pe radacinile derivatei I.

-

Determinarea semnului derivatei I, care da monotonia functiei.

-

Studiul derivatei a doua:

-

Se determina multimea E`` inclusa in E`, pe care functia f ` este derivabila si apoi se calculeaza f ``(x).

-

Se rezolva ecuatia f ``(x)=0, iar radacinile pot fi puncte de inflexiune.

-

Se calculeaza valoarile functiei pe radacinile derivatei II.

-

Determinarea semnului derivateiei II, care ne da convexitatea sau concavitatea functiei.

-

Formarea tabloului de variatie a functiei f – tablou in care se trec pentru sistematizare, rezultateleobtinute la punctele precedente:

x f `(x) f ``(x) f(x)

-

Trasarea graficului functiei:- conform rezultatelorsistematizate in tabloul de variatie – intr-un sistem de axe carteziene.

APLICATII:

-

Sa se studieze variatia functiilor si sa se reprezinte grafic:

x -¥ -1 0 1 +¥ f `(x) - - - -¥½+¥ + 0 - - - - - - -¥½+¥ + + f (x) +¥ 1 1 0 -1 0

è in –1 si 1 avem puncte de intoarcere.

VI.Tabloul de variatie:

x 0 3 +Â¥ f `(x) + + + + + + + + + + f``(x) - - - - - - - - - - f(x) -3 0 1

2. Se considera functia:

unde D este domeniul maxim de definitie iar k partine lui R. Sa se traseze graficul functiei f stiind ca trce prin punctul (1,1).

Demonstratie:

V. 11867mxf76krj4u

x -¥ -2 -1/2 0 1 ¥ f `(x) + + + ½+ + + 0 - - - ½ - - - - 0 + + + f(x) 2 +¥½-¥ -2 -¥½+¥ 1

3. Sa se reprezinte grafic functia:

V. 11867mxf76krj4u Tabloul de variatie:

x -¥ -1 -0,854 -3/4 -0,125 0 1 ¥ f `(x) - - - 0 + + + + 0 - - - - - - 0 + + f ``(x) + + + + 0 - - - - - 0 + + + + + f(x) +¥ 4,619 4,625 4,630 2,805 2 0 +¥

4. Sa se reprezinte grafic "Serpentina lui Newton" data prin functia: xr867m1176krrj

x -Â¥ - 3/a - 1/ a 0 1/ a 3/a +Â¥ f `(x) - - - - 0 + + + 0 - - - - f ``(x) - - 0 + + + 0 - - - 0 + + f(x) 0 - 3a /4 - a /2 0 a /2 3a /4 0

5. Sa se reprezinte grafic functia:

VI. Tabloul de variatie al functiei se face separat pentru cele doua ramuri:

x -½a½ x`2 0 x`1 ½a½ f `1(x) + + + 0 - - ½ + + 0 - - - - f ``1(x) - - - - - - - - - - - - - f 1(x) a ½a½ a x -½a½ x``2 0 x``1 ½a½ f `2(x) - - - - ½ + + + + f ``2(x) + + 0 - - ½ - - 0 + + f2(x) a -½a½ a
download